Wir haben im letzten Video eine Norm eingeführt, die euklidische Norm, basierend auf der Definition

des Skalarproduktes und haben uns die Cauchy-Schwarz-Ungleichung hergeleitet, mit deren Hilfe wir die Eigenschaften

der Norm zeigen konnten und insbesondere die dritte Eigenschaft, die sogenannte Dreiecksungleichung,

war etwas, wo wir die Cauchy-Schwarz-Ungleichung anwenden konnten.

Das habe ich im letzten Video vollkommen vergessen, Ihnen noch visuell zu erklären, warum man

diese Ungleichung die Dreiecksungleichung nennt.

Wahrscheinlich war Ihnen das auch so bewusst, aber der Vollständigkeit halber möchte ich

das noch kurz machen.

Die Dreiecksungleichung hat uns gesagt, dass wir folgende Zusammenhang haben, nämlich

folgende Eigenschaft soll gelten für zwei Vektoren aus dem euklidischen Raum, wenn wir

die Norm von x plus y betrachten zum Quadrat, dann ist das immer kleiner gleich der Summe

der beiden Normen der Einzelvektoren zum Quadrat.

Ich habe das jetzt einfach Couchy-Schwarze-Ungleichung genannt, Dreiecksungleichung genannt, ohne

Ihnen zu erklären, warum.

Dazu vielleicht noch folgende Illustration.

Stellen wir uns vor, wir sind in einem Dreieck und wir haben drei Punkte gegeben.

Wir haben hier einen Punkt P, wir haben hier vorne einen Punkt R und einen Punkt Q dort

unten gegeben.

Dann können wir uns die Vektoren anschauen, die gerade die Seiten dieses Dreiecks ausspannen,

das heißt wir haben hier einen Vektor V.

Dann haben wir vielleicht von Q zu R einen Vektor W.

Dann ist klar, wenn ich von P zu Q gehe und von Q zu R, dann ist es dasselbe, als wenn

ich von P zu R gehe und das kann ich ausdrücken durch den Vektor V plus W.

Das heißt es gibt eine Verbindung hier rüber, die gerade V plus W ist.

Na ja, wenn wir uns jetzt die Dreiecksungleichung anschauen, dann sagt ihr nichts anderes,

als dass die Strecke, die direkt von P zu R geht, auf jeden Fall kleiner gleich ist,

als die Summe der beiden Einzelstrecken.

Das heißt, wenn ich jetzt hier die Norm von V nehme und ich addiere darauf die Norm von

W zum Quadrat, dann ist klar, dass das Ganze irgendwie eine längere Strecke sein muss,

als die direkte Verbindung von P zu R.

Das heißt hier die kürzeste Strecke im Dreieck ist natürlich die direkte Verbindung V plus

W zum Quadrat.

Und wann ist gerade die Gleichheit gegeben, das haben wir letztes Mal auch schon charakterisiert.

Wir haben sowas gesagt wie V und W müssten linear abhängig sein, dafür dass die Dreiecksunggleichung

eine echte Gleichheit ist.

Na ja, was hieße das denn?

Wenn V und W linear abhängig sind, dann komme ich gerade in einen anderen Fall, nämlich

nehmen wir an P ist jetzt ein Punkt hier in der Mitte gegeben und ich habe auf der einen

Seite den Punkt R, auf der anderen Seite den Punkt Q und ich befinde mich jetzt gar nicht

mehr in einem Dreieck, sondern hier auf einer Geraden.

Das heißt, wenn ich jetzt mir hier den V-V-Vektor anschaue und dann den Vektor von hier darüber.

Moment, ich müsste ihn eigentlich unten her zeichnen, das wird jetzt ein bisschen schwierig.

Ich versuche es mal in rot dadurch zu zeichnen.

Das hier ist nun der Vektor W, dann ist klar, dass die Strecken, wenn ich sie aufsummiere,

gerade gleich sind.

In dem Fall, da ich nicht in einem Dreieck laufe und die Strecken eh übereinander liegen.

Das heißt, bei linearer Abhängigkeit ist die Dreiecksunggleichung eine echte Gleichung.

Gut, damit möchte ich eigentlich gar nichts mehr zur Norm sagen.

Wir kommen nämlich jetzt zu einem weiteren spannenden Begriff, den der Metrik, das ist

auch das Thema dieses Videos.